Equazioni cosmologiche

 c ) Le equazioni cosmologiche Una dimostrazione cosmologica scientifica può essere impostata in questo modo: si impostano le equazioni di Einstein secondo l’Enciclopedia Treccani delle scienze fisiche, si ottengono due equazioni cosmologiche con il fattore di scala R 3  R = - 4 π G ( ρ + 3 p ) R R  R + 2 2  R + 2 K = 4 π G ( ρ - p ) R 2 . Due equazioni cosmologiche dalle equazioni del campo sono state ricavate dal matematico Friedmann (Фриидман ) nell’ipotesi d’universo omogeneo ed isotropo in accordo con il principio cosmologico, estensione di quello copernicano. La prima equazioni scritta si può spiegare e dimostrare semplicemente, senza conoscere la matematica tensoriale ed i simboli di Christoffel, impostando l’equazione del moto per una massa m sulla superficie di una sfera comovente di raggio R e densità ρ: l’equazione newtoniana è m a = - G m M / d2 dove a sinistra è stato scritto il termine ma della seconda legge della dinamica ed a destra l’espressione della forza F gravitazionale proporzionale alle due masse in studio ed inversamente proporzionale al quadrato della loro distanza. La massa M della sfera comovente si può calcolare come prodotto del volume della sfera per la densità e si ottiene M = 4 π R3 ρ / 3. Essendo d = R con la sostituzione si ha l’equazione del moto 3  R = - 4 π G ( ρ ) R che, se si aggiunge il termine di pressione per le tre dimensioni 3p alla densità, coincide esattamente con la formula scritta all’inizio. Siccome la densità è positiva, la derivata seconda di R è negativa. Chi ha studiato l’analisi matematica sa che questo corrisponde alla concavità verso il basso per la curva che descrive l’andamento di R con il tempo t. Questo significa che la curva deve intersecare l’asse delle ascisse in un punto in corrispondenza del quale risulta R = 0. In questo punto la dimensione R dell’universo era zero che corrisponde a dire che l’universo non esisteva. L’universo non è eterno: in quell’istante ( big bang ) l’universo ha iniziato la sua vita e siccome da niente non viene niente ( ex nihilo nihil fit ) una Causa increata ed immateriale lo deve avere generato. Questa Causa è chiamata Dio. Un altro modo d’impostare la dimostrazione cosmologica può essere questo: si impostano le equazioni del campo, si ricava l’equazione di Friedmann od in russo Фриидман , con eventuale correzione ed aggiunte, e si risolve l’equazione. Si suppone che l’universo sia un fluido in cui le particelle si espandono e diventano stelle e galassie; si applica l’equazione di stato per i gas. Supponendo l’universo costituito da una polvere incoerente con pressione nulla cioè da materia non relativistica ( barioni ) con γ = 0, si ottiene un andamento del fattore di scala R che caratterizza la dimensione dell’universo del tipo R ≈ t2/3 . Supponendo l’universo costituito da un fluido rigidissimo ( stiff-matter ) con γ = 1, l’andamento del fattore di scala è del tipo R ≈ t1/3 . La funzione è crescente quindi la cosmologia scientifica conferma i dati della cosmologia sperimentale. Quando è t = 0 cioè all’inizio risulta dalla formula R = 0. Anche in questo caso come nel precedente, risulta che l’universo aveva una dimensione nulla cioè non esisteva. L’universo conseguentemente non è eterno, 25 non possiede l’attributo dell’eternità che per definizione appartiene soltanto a Dio; nel testo biblico ( Isaia 43, 12-13 ) Dio si rivela come El Olam ( Dio, sempre il medesimo dall’eternità ). Se in un certo periodo l’universo non esisteva significa che è soltanto un effetto a cui deve corrispondere una causa. Ad ogni domanda la scienza cerca di dare una risposta. Bisogna ricercare il motivo d’ogni fenomeno reale e dare la spiegazione d’ogni perché. Se ad un certo momento è comparso l’universo cioè l’effetto, significa che deve esistere una causa. Ad ogni effetto corrisponde una causa. È il principio fisico della causa ed effetto. Questa causa increata che ha prodotto un universo materiale non può che essere spirituale cioè non può che essere Dio. L’esistenza dell’universo attesta l’esistenza di Dio. L’esistenza del creato dimostra l’esistenza di un Creatore. Questo è il nocciolo della prova cosmologica: l’esistenza del cosmo dimostra l’esistenza di Dio. L’esistenza di un mondo ordinato dimostra l’esistenza di un Ordinatore. Tutte le dimostrazioni, nella varietà delle argomentazioni, convergono sempre verso Dio. Le dimostrazioni dell’esistenza di Dio basate sulla cosmologia scientifica moderna possono essere chiamate neocosmologiche, mentre quelle fondate sulle prove d’ Aristotele, di S. Tommaso d’Aquino eccetera possono conservare il nome di prove cosmologiche. In realtà le soluzioni matematiche scritte sono una semplificazione schematica in quanto sono state trascurate o considerate nulle la curvatura con k = 0 e la costante cosmologica Λ = 0. Più rigorosamente bisogna procedere nella seguente maniera come è dimostrato nelle tre appendici: si scrive l’espressione della Lagrangiana nella metrica di Friedmann-Robertson-Walker, si scrivono le equazioni d’Eulero-Lagrange e si ricavano i simboli di Christoffel. Con questi si calcolano le componenti del tensore di Ricci, si scrive la prima equazione di campo di Einstein in componenti miste R 0 0 + Λ = χ ( T0 0 - T/2 ), si scrive la seconda equazione di campo in componenti miste R 1 1 + Λ = χ ( T1 1 - T/2 ) e si sostituiscono i valori delle componenti del tensore di Ricci. Il famoso matematico russo Alessandro Friedmann od in russo Фриидман ha ottenuto due equazioni cosmologiche dalle equazioni del campo d’Einstein; si ricava l’accelerazione dalla prima equazione e si sostituisce nella seconda ottenendo l’equazione che descrive la dinamica dell’universo: H 2 = 8πGε/(3c2 ) + Λc 2 /3 - kc2 /a2 dove compare il parametro di Hubble. L’equazione della dinamica espansiva dell’universo può essere dimostrata rapidamente con il principio di conservazione dell’energia invece che con il lungo procedimento matematico riportato in Appendice. La dimostrazione seguente riguarda la derivazione dell’equazione della dinamica dell’universo, mentre la risoluzione od integrazione dell’equazione differenziale è riportata in Appendice. ⋄ La somma dell’energia cinetica e di quella potenziale deve essere costante per il principio di conservazione dell’energia per cui è m ( aʹ )2 / 2 - G m M / a = Costante dove è aʹ = da / dt. La massa dell’universo M si può esprimere come il prodotto del volume per la densità ρ M = ρ 4 π a3 / 3. Sostituendo si ha m ( aʹ )2 / 2 - G m ρ 4 π a2 / 3 = Costante e ( aʹ )2 / a2 - G ρ 8 π / 3 = Costante / ( m a2 ) cioè 26 ( aʹ )2 / a2 - Costante / ( m a2 ) = G ρ 8 π / 3 che si può scrivere H 2 + K / a2 = G ρ 8 π / 3 dove è K = - Costante / m. L’ultima equazione scritta con l’aggiunta del termine cosmologico è l’equazione della dinamica espansiva dell’universo, normalizzata con la velocità della luce c = 1; tale equazione deriva anche dalle due equazioni di Friedmann ( Фриидман ) con un diverso procedimento. Sostituendo la densità d’energia ε = ρ c2 in base alla relazione d’equivalenza tra massa ed energia d’Einstein, s’ottiene H 2 + k c2 / a2 = G ε 8 π / ( 3 c2 ) con k = K / c2 . L’equazione differenziale della dinamica dell’universo è considerata relativistica. ⋄ Dell’equazione della dinamica dell’universo sono state presentate varie versioni; l’equazione è stata modificata, corretta, perfezionata, completata. Alcuni termini sono stati aggiunti ma nella sostanza presenta a secondo membro un termine dovuto alla densità d’energia o di materia, un termine dovuto alla costante cosmologica Λ ed un termine dovuto alla curvatura dell’universo con k. La curvatura dell’universo esiste realmente ma è piccola per cui si può trascurare, mentre gli altri due contributi sono rilevanti. Se si cerca la soluzione matematica esatta a ( t ) dell’equazione H 2 = 8πGε/(3c2 ) + Λc 2 /3 si trova una soluzione esatta dal punto di vista dell’analisi matematica ed un’equazione differenziale può sempre essere risolta anche con i metodi dell’analisi numerica. L’equazione della dinamica o di Фриидман è stata modificata, corretta e migliorata varie volte in tanti modi differenti; una forma molto utilizzata è 3  R a a  d2 f/dR2 - 3 a a  df/dR - f / 2 = 8 π G ρ(a) dove f è una funzione generica f( R ) dello scalare di Ricci. A titolo informativo si riportano le equazioni in teorie scalar-tensoriali. Si ottiene il sistema dinamico descritto dalle equazioni                       2 2 a k a a a a 2 F(φ) +               a a 2 Fʹ(φ) + 2        Fʹʹ(φ) - 2 1               - V( ) 2 1 2 = 0, e   + 6 2          a a Fʹ(φ) + 6 a a  Fʹ(φ) + 3 a a    + 6 2 a k Fʹ(φ) + Vʹ(φ) = 0, che ha il significato di un’equazione di Klein-Gordon per il campo scalare. Dall’equazione per l’energia con il vincolo EL = 0 si ottiene 6 2 a a          F(φ) + 6          a a   Fʹ(φ) + 6 2 a k F(φ) + 2 1 2        + V(φ) = 0. 27 Il sistema delle tre equazioni cosmologiche da teorie scalar-tensoriali è definito specificando la forma dei funzionali F e V. La soluzione consiste nel trovare le funzioni del tempo a(t) e φ(t), considerando la terza equazione come vincolo. Se la lagrangiana gravitazionale non è lineare nello scalare di Ricci, si ha una cosmologia da teorie di ordine superiore: la dinamica del cosmo può essere descritta dalle due equazioni R = - 6                       2 2 a k a a a a ,          a a Fʹ(R) + 2          a a Fʹʹ(R)  R + Fʹʹ(R)  R + Fʹʹʹ(R) 2        R + 3 R Fʹ(R) - 2 F( R ) = 0. In alternativa per la dinamica del cosmo si possono utilizzare le equazioni d’ Eulero-Lagrange e si ottengono le due equazioni 6 Fʹʹʹ(R) 2  R + 6 Fʹʹ(R)  R + 6                       2 2 a k a a a a Fʹ(R) + + 6          a a Fʹ(R) + 12          a a Fʹʹ(R)  R - 3 [ F(R) - Fʹ(R) R ] = 0, 6                       2 2 a k a a a a Fʹʹ(R) + Fʹʹ(R) R = 0. La forma funzionale F(R) dello scalare di Ricci deve essere specificata. La soluzione consiste nel ricavare le funzioni del tempo a ( t ) e R ( t ). A titolo puramente informativo si riportano le due equazioni cosmologiche modificate nella teoria delle membrane: 3 H2 = λp 2 ( φʹ2 / 2 + V ) [ 1 + ( φʹ2 / 2 + V ) / ( 2 μ4 )] 2 Hʹ = - λp 2 φʹ2 [ 1 + ( φʹ2 / 2 + V ) / μ4 ] dove H è il parametro di Hubble, φ è il campo scalare, V è il potenziale, μ 4 è la tensione nella brana e λp 2 è uguale a 8 π G. L’equazione di Фриидман modificata in qualche caso ( Lezioni di cosmologia teorica ) diventa: H 2 = { [ 8πGρ / 3 + 1 / ( 4 rc 2 ) ]1/2 ± 1 / ( 2 rc ) } 2 dove è rc = λ5 3 / ( 2 λp 2 ); quando è Gρ >> 1 / rc 2 , si ha l’equazione ordinaria di Фриидман 28 H 2 = 8πGρ / 3. Recentemente Dodelson Scott ha impostato le equazioni di Boltzmann per i fotoni, i barioni e la materia oscura per la risoluzione del problema cosmologico. Esistono moderne teorie di stringa, superstringa e brana che portano a nuove equazioni cosmologiche ed ad equazioni di Friedmann modificate. Dio non ha creato l’universo nel tempo ma ha creato il tempo e l’universo, secondo un noto concetto introdotto da S. Agostino. Dio non ha creato la materia nello spazio e nel tempo, ma ha creato contemporaneamente la materia, lo spazio ed il tempo. Ne è la riprova il fatto che nello spazio di Minkowski, in cui è scritta la teoria della relatività, il tempo è la quarta coordinata dopo quelle spaziali. Si considerano le variabili spaziali x, y, z e la quarta variabile t che è quella temporale. Dio è al di sopra ed al di fuori dello spazio e del tempo: trascende l’universo. La prova scientifica dell’esistenza di Dio è scritta nei numeri. Si riporta il testo d’un intervista rilasciata dall’astrofisico Trinh Xuan Thuan, autore dell’opera La mélodie secrète, : “ Posso dire che l’universo è regolato con estrema precisione. Occore poco più di una dozzina di numeri per descriverlo: la forza di gravitazione, la velocità della luce, la cifra che misura la dimensione degli atomi, la loro massa, la carica degli elettroni ecc. Ora basterebbe che uno di questi numeri fosse diverso e l’universo non esisterebbe ( noi compresi di conseguenza ). Si tratta di un congegno a orologeria assai delicato, poiché con lo scarto di qualche decimale, nulla accadrebbe e l’universo risulterebbe sterile. Il BigBang originale doveva possedere una certa densità; le stelle, produrre carbone; la Terra, trovarsi a una certa distanza dal Sole; l’atmosfera, avere una buona composizione. Era necessario tutto questo, perché comparisse la vita. Erano possibili migliaia d’altre combinazioni. I fisici le ricreano in laboratorio, ma nessuna ha originato la vita. Questo concorso di circostanze è troppo straordinario perché il caso ne sia il solo responsabile. Ecco perché sono certo che c’è un Creatore ˮ. Intelligo ut credam ( S. Agostino